Najnowsze Wpisy

Zwycięska historyjka tangramowa 
03. lipca 2016 22:52:00
linkologia.pl spis.pl

Poniżej przedstawiam pracę, która zwyciężyła w szkolnym konkursie "Tangramowa historyjka".
 Pracę wykonał Wasz kolega, Kamil Czerniejewski, uczeń klasy IVb.

 

Kamilowi serdecznie gratuluję!

bserafin : :

Błyskawiczne mnożenie 
12. czerwca 2016 15:58:00
linkologia.pl spis.pl

Zachęcam Was do zapoznania się z ciekawą metodą mnożenia liczb wielocyfrowych nauczaną w japońskich szkołach. Wystarczy kliknąć tutaj: mnożenie japońskie.

bserafin : :

Dalej o funkcjach 
26. maja 2016 23:59:00
linkologia.pl spis.pl

Witajcie! Czy jesteście gotowi powrócić do rozmowy o funkcjach?

Na czym to skończyliśmy? Prawda! Na przedstawianiu wartości funkcji na wykresie.

Dotychczas omawiane przez nas funkcje były funkcjami DYSKRETNYMI, a tak naprawdę to zbiory argumentów tych funkcji były dyskretne. Cóż to oznacza? Na pewno nie oznacza to DYSKRECJI. W dużym uproszczeniu możemy powiedzieć, że nasze argumenty „stoją samotnie” na osi odciętych (to ta pozioma, pamiętacie?), to znaczy nie stykają się z żadnym ze swoich sąsiadów. Inaczej mówiąc odległość między nimi nie może być dowolnie mała.

W naszym przypadku oznacza to, że elementy tych zbiorów były odrębnymi elementami, tak jak monety w Waszych kieszeniach. Pomiędzy tymi elementami (monetami) nie było elementów pośrednich, a więc na przykład połówki monety lub jej 3/4 części. Podobnie zbiór wartości zawiera tylko określone nominały i pomiędzy 1 zł a 2 zł nie występuje wartość monety 1,5 zł.

W tej notce chciałabym Wam zaprezentować inny typ funkcji, tj. taki, w którym zarówno dziedzina jak i przeciwdziedzina są CIĄGŁE. Jeżeli jakiś zbiór jest ciągły, to oznacza, że pomiędzy jego elementami nie występują przerwy. Spróbujmy zobrazować to przykładami. Zbiór liczb naturalnych N jest zbiorem dyskretnym, ponieważ pomiędzy sąsiadującymi elementami istnieje luka, przerwa, wynosząca 1. Liczba 3 jest odległa od swojego najbliższego sąsiada - 4 o 1 i pomiędzy 3 a 4 nie występuje żadna liczba naturalna.

Przykładem zbioru ciągłego jest zbiór liczb rzeczywistych - pomiędzy dwiema dowolnymi liczbami jest jeszcze całe mnóstwo (w zasadzie nieskończenie wiele) liczb, innym przykładem może być czas, czyli zbiór chwil czasowych.

I w tym momencie możemy powrócić do naszych rozważań o funkcjach.

Wyobraźmy sobie, że każdej chwili czasowej przyporządkowujemy jakąś wartość, na przykład prędkość samochodu. Od razu pewnie powiecie, że to przyporządkowanie jest funkcją, ponieważ w każdej chwili czasu samochód ma jakąś prędkość, nawet jeśli się nie porusza - wtedy jego prędkość wynosi zero. Ponadto samochód może poruszać się tylko z jedną prędkością, prawda? Innym przykładem funkcji ciągłej może być temperatura powietrza w ciągu tygodniowej obserwacji.

Obserwacje zmian jakiejś wielkości fizycznej, czyli na przykład prędkości samochodu lub temperatury powietrza, w czasie to jedne z najpopularniejszych funkcji ciągłych, ale zwykle ich przebieg trudno opisać jest jakąś matematyczną zależnością.

Są za to funkcje, na które łatwo można przedstawić przepis. Jakie to funkcje? Zastanówcie się nad takim problemem: pole kwadratu P równe jest długości jego boku a pomnożonej przez samą siebie, czyli podniesioną do drugiej potęgi (do kwadratu), tak jak w poniższym wzorze

P = a · a = a2

Jak zatem będzie się zmieniało pole, jeśli będziemy zwiększać długość boku? Odpowiedź można znaleźć na rysunku poniżej. Długość boku kwadratu wcale nie musi wyrażać się liczbą całkowitą, możemy wyobrazić sobie kwadrat o boku od 0 do nieskończonej długości i dla każdego z nich pole będzie równe drugiej potędze. W ten sposób powstała krzywa, którą widzicie na rysunku, a która nazywana jest parabolą.

Jakie są inne funkcje, które można opisać jakąś zależnością? Jest ich całe mnóstwo! Tyle ile zależności. Istnieją funkcje trygonometryczne, o których będziecie się uczyli później, sinus, kosinus tangens i kotangens (ich oznaczenia to sin, cos, tan i ctg). Są to funkcje, które łączą wartość kątów w trójkącie prostokątnym z długościami jego boków. Są bardzo użyteczne, ale na razie pokażę wam tylko wykresy dwóch z nich - są na kolejnym rysunku.

Warto byście wiedzieli, że świat funkcji jest o wiele bardziej bogaty, niż udało mi się to tutaj przedstawić. Jest on też niezmiernie potrzebny i użyteczny, pozwala opisywać niemal wszystko, a im dalej się w niego zagłębicie, tym ciekawszy będzie się wydawał.

bserafin : :

Szkolny konkurs "Tangramowa historyjka" 
20. kwietnia 2016 22:42:00
linkologia.pl spis.pl

Zapraszam wszystkich chętnych uczniów klas 4-6 SP 114 do udziału w szkolnym konkursie matematycznym pt. "Tangramowa historyjka".

Tangram jest to starożytna chińska łamigłówka. Ma już około 3000 lat. Polega ona na układaniu elementów tangramu, czyli odpowiednio pociętego kwadratu. Zabawa z tangramami pomaga nam ćwiczyć wyobraźnię, dostarczając przy tym niezłej rozrywki. Jeżeli chcecie spróbować swoich sił w układaniu tanów (czyli elementów tangramu), polecam Wam aplikację na stronie http://www.math.edu.pl/tangram,

Osoby zainteresowane konkursem, jego regulamin znajdą tutaj.

Serdecznie zachęcam do udziału!

bserafin : :

Albus 2016 - pomocne linki 
03. kwietnia 2016 22:34:00
linkologia.pl spis.pl

Wszystkich, którzy chcą dobrze przygotować się do konkursu matematycznego Albus 2016 zachęcam do odwiedzenia strony Centrum Edukacji Szkolnej. Na stronie http://www.ces.edu.pl/albus-matematyka/albus-zakres-tematyczny, znajdziecie zakres tematyczny konkursu, a archiwum testów z ubiegłych lat wraz z kluczem odpowiedzi dostępne jest na stronie http://www.ces.edu.pl/albus-matematyka/archiwum.

Regulamin konkursu znajdziecie na stronie http://www.ces.edu.pl/albus-regulamin.

bserafin : :

Konkurs matematyczny Albus 2016 
02. kwietnia 2016 23:55:00
linkologia.pl spis.pl

Zapraszam wszystkich chętnych uczniów klas 4-6 SP 114 do udziału w ogólnopolskim konkursie matematycznym Albus 2016. Osoby zainteresowane proszone są o kontakt z nauczycielami matematyki. Aby wziąć udział w konkursie należy wpłacić 9 zł do 13.04.2016 włącznie.

Serdecznie zachęcam!

bserafin : :

Życzenia świąteczne 
21. marca 2016 23:44:00
linkologia.pl spis.pl

Witajcie!

Z okazji nadchodzących Świąt Wielkiej Nocy pragnę złożyć wszystkim odiwedzającym mojego Mat-bloga najserdeczniejsze życzenia zdrowia, szczęścia i wszelkiej pomyślności. A dla chętnych mam prezent od Wielkanocnego Zajączka - program do ćwiczenia tabliczki mnożenia i nie tylko.

Żeby go pobrać wystarczy kliknąć tutaj, a następnie rozpakować plik Tabliczka.zip i uruchomić plik Tabliczka.exe.

Miłej zabawy i Wesołych Świąt!

bserafin : :

O sposobach przedstawiania funkcji 
01. marca 2016 21:42:00
linkologia.pl spis.pl

W poprzedniej notce przedstawiłam Wam przykład przyporządkowania będącego funkcją. W matematyce wszystko można zapisać za pomocą odpowiednich symboli. Spróbujmy więc zapisać nasze przyporządkowania. Zacznijmy najpierw od dziedziny - w poprzedniej notce mówiliśmy o dziesięciu monetach, może warto byłoby przydzielić im numery? Tak więc dziedziną naszej funkcji są monety o numerach od 1 do 10. Niech przy tym zbiór tych monet nosi nazwę „M”. Następnie powinniśmy nazwać jakoś naszą funkcję. Nie będzie to może zbyt odkrywcze, ale nazwijmy ją „f”. Jeżeli  teraz przeciwdziedzinę funkcji, czyli zbiór wartości monet w Polsce nazwiemy „W”, to nasze przyporządkowanie przyjmie formę

f : M → W.

Będzie to jedynie symboliczny zapis, który nie mówi nam nic o tym, jakie wartości zostały przyporządkowane poszczególnym monetom. Jak więc przedstawić szczegóły funkcji f?

Jedną z metod jest przedstawienie tego na grafie, tak jak na rysunku w poprzedniej notce, przy czym od razu zauważycie, że nie nadaliśmy tam jeszcze numerów monetom. Za pomocą strzałek zobrazowano tam właśnie przyporządkowanie wartości argumentom funkcji.

 

Poniżej znajduje się rysunek analogiczny do poprzedniego, lecz tu już monety mają swoje numery.

Formą prostszą (i chyba wygodniejszą) od grafu jest tabela. Poniżej w sposób tabelaryczny przedstawiono funkcję z naszego rysunku.

 

m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

w=f(m)

1 gr

2 gr

10 gr

50 gr

2 zł

2 zł

1 zł

1 zł

1 zł

5 zł

 

Zwróćcie uwagę na zapis w pierwszej kolumnie. Przez „m” (małe) oznaczyliśmy numer monety, natomiast jej wartość została oznaczona przez „w” (również małe). Zapis

w=f(m)

oznacza „w jest wartością funkcji f dla argumentu m". Z takim zapisem funkcji będziecie się spotykać bardzo często, ponadto ten zapis często będzie pod sobą ukrywał wzór za pomocą którego można obliczyć (!) wartość funkcji dla danego argumentu. Ale o tym - w kolejnych notkach.

Chcę Wam jeszcze tylko pokazać jeden z najważniejszych sposobów przedstawiania funkcji, mianowicie graficzny. W sposób graficzny funkcję przedstawia się na WYKRESIE, na którym znajdują się OSIE UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH. Na osi poziomej, nazywanej OSIĄ ODCIĘTYCH zaznacza się argumenty funkcji, a na osi pionowej, nazywanej OSIĄ RZĘDNYCH zaznacza się wartości funkcji. Jak zaznaczyć wartości naszej funkcji f? Jeżeli dla wybranego argumentu funkcji poprowadzimy pionową linię (najlepiej przerywaną), od przypisanej mu wartości poprowadzimy inną linię - poziomą, to w punkcie przecięcia się tych linii możemy zaznaczyć punkt wykresu funkcji, tak jak na poniższym rysunku.

Jak widzicie wykres naszej funkcji jest po prostu zbiorem odpowiednio rozmieszczonych punktów.

W następnych notkach przeczytacie o ciekawszych, ale i nieco bardziej skomplikowanych funkcjach.

bserafin : :

Funkcje 
10. lutego 2016 23:13:00
linkologia.pl spis.pl

Dzisiaj chciałabym opowiedzieć Wam trochę o funkcjach. Dlaczego? W zasadzie dlatego, że funkcje można spotkać po prostu wszędzie i kiedy je już raz poznacie, będziecie je zauważać na każdym kroku (i coraz częściej wykorzystywać).

Czymże więc są te funkcje? Zacznijmy od definicji. O nie! Nie wyłączajcie jeszcze przeglądarki - nie będzie tak źle! :-) Jeżeli chcecie używać jakiegoś określenia np. "funkcja" musicie wiedzieć co ono oznacza i na to właśnie pozwoli Wam definicja. Wróćmy więc do definicji funkcji. Wyobraźmy sobie najpierw dwa zbiory. Jakie? Jednym z nich może być choćby zbiór monet - ten zbiór nazwiemy DZIEDZINĄ, drugi zbiór - PRZECIWDZIEDZINA może być na przykład zbiorem wartości monet. FUNKCJĄ nazywamy przyporządkowanie, czyli przypisanie KAŻDEMU elementowi z pierwszego zbioru (dziedziny) jednego i tylko jednego elementu z drugiego zbioru (przeciwdziedziny).

Uff! Zdefiniowaliśmy pojęcie funkcji, ale co oznacza powyższa definicja? Wyobraźmy sobie, że monety z naszego przykładu znajdują się w Waszej kieszeni, niech będzie to 10 różnych monet - to dziedzina naszej funkcji. Jakie wartości możemy przypisać (przyporządkować) naszym monetom? Otóż zbiór wartości (znów - przeciwdziedzina) naszej funkcji to tylko 1, 2, 5, 10, 20 i 50 groszy oraz 1, 2 i 5 złotych i jedynie z tego zbioru możemy wybierać. Zatem niech monety w Waszej kieszeni mają następujące wartości: 10 gr, 2 zł, 1 zł, 1zł, 2 gr, 5 zł, 1 zł, 2 zł, 1 gr, 50 gr, co przedstawiłam na rysunku poniżej. Co można ciekawego powiedzieć o tym przyporządkowaniu? Wbrew pozorom całkiem sporo. Po pierwsze: bez przyporządkowania monetom wartości byłyby one jedynie kolorowymi blaszkami, nic nie można byłoby za nie kupić! Widzicie więc, że to przyporządkowania ma znaczenie. Po drugie: na pewno zauważyliście, że co prawda KAŻDEJ monecie przyporządkowałam wartość (logiczne - bez tego nie byłaby monetą...), jednak nie wykorzystałam wszystkich wartości monet jakie są dostępne - Wy też przecież nie nosicie ze sobą każdego nominału. Zatem przyporządkowanie jest nadal funkcją, nawet jeśli nie wyczerpie się wszystkich możliwych wartości przeciwdziedziny. Po trzecie: niektóre wartości wykorzystałam wielokrotnie (w naszej kieszeni pobrzękują aż trzy monety jednozłotowe) - to również jest logiczne, to że w Waszej kieszeni są pięciozłotówki, nie oznacza, że ja nie mogę takich monet mieć u siebie w portfelu.

Z oczywistych względów nie można przypisać więcej niż jednej wartości elementowi dziedziny, bo jak moneta może mieć dwa nominały?

Jak widzicie funkcje mają bardzo konkretne zastosowania i często pozwalają nam uporządkować opisywane sytuacje i ułatwiają rozwiązywanie problemów. W następnej notce opowiem jeszcze więcej o funkcjach i ich zastosowaniach.