... i niewymierne

Być może ktoś, bawiąc się matematyką, napotkał już liczby, których w postaci dziesiętnej nie da się zapisać za pomocą skończonej ilości cyfr i krzyknie: "To są liczby niewymierne!".

Niestety, nie jest to prawdą, przynajmniej nie zawsze. Otóż są liczby wymierne, i to wcale nie za duże, których dziesiętna reprezentacja (czyli zapis) ciągnie się w nieskończoność - próbowaliście już kiedyś podzielić 1 przez 3? Jeśli nie to spróbujcie!

Otrzymacie: 0.33333333333333333333333333333...

i nieskończoną liczbę trójek, ale czy to powoduje, że nie jest to liczba wymierna?

Oczywiście, że nie! przecież to ułamek 1/3 - jego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi!
To jakie w końcu są te liczby NIEWYMIERNE? Zapewne spotkaliście się już z pojęciem pierwiastka drugiego stopnia (inaczej pierwiastka kwadratowego). Pierwiastkowanie to operacja odwrotna to potęgowania i polega na znalezieniu liczby, która podniesiona do potęgi (w tym wypadku drugiej) da liczbę PODPIERWIASTKOWĄ. Na przykład: pierwiastek kwadratowy z 4 to 2, ponieważ 22=4, a z 9 to 3, bo 32=9.
Ale co by było, gdybyśmy próbowali znaleźć pierwiastek z liczby 2? Nie jest to ani jeden, bo za mało, ani 2, bo za dużo, więc pewnie jest to jakaś liczba niecałkowita spomiędzy 1 i 2. Spróbujcie na kalkulatorze podnosić do kwadratu (do drugiej potęgi) kolejno liczby 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5. Okaże się, że 1.4 to znów za mało, a 1.5 to za dużo! Spróbujmy dalej 1.41, 1.42 - O, to już za dużo, więc 1.411,1.412 itd. Jak długo tak można? W nieskończoność! Jest to więc liczba o nieskończenie długiej reprezentacji dziesiętnej. Ale okazuje się także, że nie uda nam się znaleźć dwóch liczb całkowitych, które jako ułamek mogłyby przedstawiać pierwiastek z dwóch. Jest to więc liczba niewymierna. Hurra! Mamy pierwszą, a kolejne? To proste! Pierwiastki z 3, 5, 6, 7 itd. Liczby niewymierne jako pierwiastki odkryli w starożytnej Grecji matematycy związani z Pitagorasem (czyli Pitagorejczycy), ponieważ natrafili na nie próbując wyznaczyć długości przeciwprostokątnych w trójkątach (ale już to temat na zupełnie inny post!).

Czy tylko pierwiastki? Otóż nie! Jedną z najpopularniejszych liczb niewymiernych jest liczba Pi, oznaczana przez π, a nazywana liczbą Archimedesa lub ludolfiną. Skąd liczba niewymierna u starożytnego matematyka i fizyka? Otóż była ona ludziom potrzebna do wyznaczenia obwodu koła. Liczba π jest bowiem stałą określającą stosunek długości średnicy koła do jego obwodu (mówi więc ile razy obwód koła jest dłuższy od średnicy). Archimedes, oczywiście nie wiedział, że liczba ta jest niewymierną, ale próbował ją obliczyć z pewnym przybliżeniem i uzyskał wartość pomiędzy 3 10/71 a 3 1/7. Dziś znamy już znacznie dokładniejsze przybliżenia tej liczby, ale i tak zwykle wykorzystujemy π=3.141. Podobno jej dokładną wartość zna tylko Chuck Norris, ale nie jest to pewne.
Inną znaną liczbą niewymierną jest liczba Eulera lub Nepera, czyli e równa w przybliżeniu 2,7182818... Jest ona wykorzystywana w wielu działach matematyki i fizyki, miedzy innymi jest podstawą logarytmu naturalnego, ale to już całkiem inna historia.