System dwójkowy

Dzisiejszym wpisem chciałabym Was zachęcić do zaprzyjaźnienia się z dwójkowym systemem licznienia. Dlaczego tak się go czepiam? Bo, jak pisałam ostatnio, jest on podstawą działania komputerów - wszystkie urządzenia cyfrowe, od kalkulatorów, przez smartfony i tablety, aż po wielkie superkomputery liczą w tym systemie. A nie jest on wcale trudny.
Zacznijmy od naszego, dziesiątkowego systemu - wykorzystujemy w nim dziesięć cyfr: od 0 do 9. Każda liczba składa się z cyfr ustawionych na odpowiedniej pozycji (stąd nazwa takich systemów liczenia - pozycyjne). Każdej pozycji (zwanej także rzędem) w liczbie przypisana jest waga (znaczenie). I tak, w liczbach całkowitych, waga pierwszej pozycji od prawej strony jest równa 1 (jest to rząd jedności), następna pozycja (druga od prawej) ma wagę 10 (rząd dziesiątek), kolejna (trzecia) ma wagę 100 (rząd setek), a nastepne : 1000, 10000, 100000 i tak dalej. Łatwo zauważyć, że wagi te są kolejnymi potęgami liczby 10:  100, 101, 102, 102...
Jak obliczamy wartość każdej liczby? Po prostu sumujemy iloczyny wszystkich cyfr przez wagi. Jako przyklad weźmy liczbę 2143:
3*100+4*101+1*102+2*103=3+40+100+2000=2143
Proste, prawda?
Analogicznie (czyli bardzo podobnie) robi się to w systemie dwójkowym, który także jest systemem pozycyjnym. Jak sama nazwa wskazuje jego podstawą jest liczba 2, sa tam też dwie cyfry: 0 i 1. Wagi dla kolejnych (od prawej) pozycji (rzędów) wynoszą 20, 21, 22, 23, 24 itd., a więc 1, 2, 4, 8, 16 ... Jak zatem odczytać liczbę 10111 w systemie dwójkowym? Jak już napisałam - analogicznie jak w systemie dziesiątkowym
1*20+1*21+1*22+0*23+1*24=1+2+4+16=23, zatem 10111(2)=23(10), zapis (2) lub (10) stosujemy, żeby zaznaczyć w jakim systemie zapisano daną liczbę.
A jak zamienić liczbe dziesiętną na dwójkową?
Spróbujmy również na przykładzie:
Naszą liczbą do zamiany będzie 26. Żeby znaleźć cyfrę na pierwszej pozycji podzielmy 26 przez 2, otrzymamy 13 reszty 0, zatem cyfra z pierwszej pozycji to 0. Następnie dzielimy 13 przez 2, otrzymujemy 6 reszty 1, więc kolejna cyfra to 1, potem dzielimy 6 przez 2 - otrzymujemy 3 reszty 0, a potem 3 przez 2, otrzymujemy 1 reszty 1, Na koniec dzielimy 1 przez 2 i otrzymujemy 0 reszty 1. Zatem nasza liczba w systemie dwójkowym to 11010(2).
W systemach pozycyjnych ilość wykorzystywanych cyfr jest równa podstawie systemu (w dziesiątkowym 10, a w dwójkowym 2), jednak nigdy nie ma w nich cyfry równej podstawie, co jednak z systemami o podstawie wyższej niż dziesięć, np. szesnastkowym? Należało dla nich wymyślić nowe cyfry i, jak napisałam we wcześniejszej notce, w systemie szesnastkowych używa się dodatkowych cyfr A, B, C, D, E i F oznaczających odpowiednio 10, 11, 12, 13, 14, 15.