Blog matematyczny

Dzisiejszym wpisem chciałabym Was zachęcić do zaprzyjaźnienia się z dwójkowym systemem licznienia. Dlaczego tak się go czepiam? Bo, jak pisałam ostatnio, jest on podstawą działania komputerów - wszystkie urządzenia cyfrowe, od kalkulatorów, przez smartfony i tablety, aż po wielkie superkomputery liczą w tym systemie. A nie jest on wcale trudny.
Zacznijmy od naszego, dziesiątkowego systemu - wykorzystujemy w nim dziesięć cyfr: od 0 do 9. Każda liczba składa się z cyfr ustawionych na odpowiedniej pozycji (stąd nazwa takich systemów liczenia - pozycyjne). Każdej pozycji (zwanej także rzędem) w liczbie przypisana jest waga (znaczenie). I tak, w liczbach całkowitych, waga pierwszej pozycji od prawej strony jest równa 1 (jest to rząd jedności), następna pozycja (druga od prawej) ma wagę 10 (rząd dziesiątek), kolejna (trzecia) ma wagę 100 (rząd setek), a nastepne : 1000, 10000, 100000 i tak dalej. Łatwo zauważyć, że wagi te są kolejnymi potęgami liczby 10:  100, 101, 102, 102...
Jak obliczamy wartość każdej liczby? Po prostu sumujemy iloczyny wszystkich cyfr przez wagi. Jako przyklad weźmy liczbę 2143:
3*100+4*101+1*102+2*103=3+40+100+2000=2143
Proste, prawda?
Analogicznie (czyli bardzo podobnie) robi się to w systemie dwójkowym, który także jest systemem pozycyjnym. Jak sama nazwa wskazuje jego podstawą jest liczba 2, sa tam też dwie cyfry: 0 i 1. Wagi dla kolejnych (od prawej) pozycji (rzędów) wynoszą 20, 21, 22, 23, 24 itd., a więc 1, 2, 4, 8, 16 ... Jak zatem odczytać liczbę 10111 w systemie dwójkowym? Jak już napisałam - analogicznie jak w systemie dziesiątkowym
1*20+1*21+1*22+0*23+1*24=1+2+4+16=23, zatem 10111(2)=23(10), zapis (2) lub (10) stosujemy, żeby zaznaczyć w jakim systemie zapisano daną liczbę.
A jak zamienić liczbe dziesiętną na dwójkową?
Spróbujmy również na przykładzie:
Naszą liczbą do zamiany będzie 26. Żeby znaleźć cyfrę na pierwszej pozycji podzielmy 26 przez 2, otrzymamy 13 reszty 0, zatem cyfra z pierwszej pozycji to 0. Następnie dzielimy 13 przez 2, otrzymujemy 6 reszty 1, więc kolejna cyfra to 1, potem dzielimy 6 przez 2 - otrzymujemy 3 reszty 0, a potem 3 przez 2, otrzymujemy 1 reszty 1, Na koniec dzielimy 1 przez 2 i otrzymujemy 0 reszty 1. Zatem nasza liczba w systemie dwójkowym to 11010(2).
W systemach pozycyjnych ilość wykorzystywanych cyfr jest równa podstawie systemu (w dziesiątkowym 10, a w dwójkowym 2), jednak nigdy nie ma w nich cyfry równej podstawie, co jednak z systemami o podstawie wyższej niż dziesięć, np. szesnastkowym? Należało dla nich wymyślić nowe cyfry i, jak napisałam we wcześniejszej notce, w systemie szesnastkowych używa się dodatkowych cyfr A, B, C, D, E i F oznaczających odpowiednio 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Czy zastanawialiście się kiedyś dlaczego liczymy tak, jak liczymy? Lub, żeby być bardziej precyzyjną, dlaczego używamy dziesiątkowego systemu liczenia? Wszystko, no prawie wszystko, w naszych obliczeniach kręci się wokół dziesiątki: mamy dziesięć cyfr (choć nie ma cyfry dziesięć), zaokrąglamy do dziesięciu, dodając i odejmując musimy przekraczać próg dziesiątkowy, nawet ułamki najwygodniej nam obliczać w postaci dziesiętnej. Okazuje się, że nie zawsze tak było.

   Z pozostałościami innych systemów liczenia, jakimi posługiwali się nasi przodkowie stykamy się na co dzień: czas liczymy w sekundach, minutach i godzinach, niektóre towary liczy się na tuziny (12 sztuk) i kopy (60 sztuk), a w wielu dziedzinach stosuje się rzymski sposób zapisu liczb.

   Jak to się zaczęło? Pierwsze rachunki ludy pierwotne wykonywały używając części ciała (palce, ręce nogi), następnie wykorzystując nacięcia na drewnie, kościach zwierząt, w skale. Były to tak zwane addytywne systemy liczenia, w których symbole oznaczające liczby należało zsumować. Systemy te z oczywistych względów nadawały się jedynie do zapisywania małych liczb, trudno byłoby posługiwać się tysiącami nacięć jako ułatwieniem w liczeniu.

   Około 1800 lat przed naszą erą powstał babiloński system liczenia oparty na liczbie 60. Był to system pozycyjny, to znaczy, że ta sama cyfra mogła oznaczać co innego, w zależności od tego, na której pozycji się znajdowała. System sześćdziesiątkowy miał sześćdziesiąt cyfr, tak jak nasz system dziesiątkowy posiada ich 10.

   Mniej więcej równolegle rozwijała się matematyka w starożytnym Egipcie, jednak egipski system liczenia był systemem addytywnym, stosującym jednak osobne znaki dla dużych liczb. Podobnie ma się rzecz ze znacznie młodszym, a używanym do dziś systemem rzymskim, w którym dodajemy (lub niekiedy odejmujemy) wartości poszczególnych symboli.

   Cyfry, jakich używamy dzisiaj (nazywane arabskimi), a z nimi system dziesiątkowy, powstały w Indiach jeszcze przed rozpoczęciem naszej ery i zostały przyjęte ok VIII wieku przez matematyków arabskich.

   Mylicie się, jeśli myślicie, że system dziesiątkowy jest systemem ostatecznym i po nim nic nowego nie wymyślono.

Otóż na potrzeby maszyn cyfrowych wprowadzono system dwójkowy, posiadający dwie cyfry 1 i 0, dla ułatwienia porozumiewania się z komputerami - system szesnastkowy, który, oprócz cyfr 0-9 posiada jeszcze sześć dodatkowych oznaczanych A, B, C, D, E, F.

   Jak widzicie liczenie dziesiątkami nie jest jedynym sposobem i gdybyśmy sposób zapisu liczb przejęli od Babilończyków, a nie od Hindusów, liczylibyśmy wszystko na kopy i byłoby to dla nas całkowicie naturalne.

Liczby otaczały człowieka od zawsze, tylko on nie zawsze zdawał sobie sprawę z ich istnienia. Z biegiem wieków zauważaliśmy ich coraz więcej. Na początku ważna była ilość członków rodziny, później, gdy w wymianie handlowej pojawiły się pieniądze należało zacząć je liczyć, aby nie zostać oszukanym. Dziś nie potrafimy obyć się bez zegara, daty, numeru PIN do telefonu, czy numeru ulubionego kanału telewizyjnego.

    Liczby odkrywano sukcesywnie. Pierwsze, rzecz jasna pojawiły się liczby naturalne, najpierw jako nacięcia wykonane przez ludzi pierwotnych na kościach, później jako znaki pisma klinowego Babilończyków i hieroglify Egipcjan. Wśród starożytnych matematyków należy także wymienić Chińczyków, Hindusów oraz Greków - z ich przemyśleń korzystamy do dziś.

    Pewien problem sprawiło ludziom zero, gdyż nie wiedziano jak interpretować coś co oznacza nic.

    Ciekawić może fakt, że kiedy odkryto liczby ujemne (pierwsze wzmianki pochodzą z chińskich prac z I wieku p.n.e. oraz z hinduskich z VII wieku n.e.) uznano je za absurdalne i najczęściej opuszczano, argumentując tym, że "ludzie nie uznają liczb ujemnych". Liczby ujemne zaczęły wracać do łask dopiero od XIII w.

    Dziś nie wyobrażamy sobie życia bez liczb mniejszych od zera. Bo jak zapisać temperaturę pięknego zimowego poranka, lub jak przedstawić stan naszych finansów przed wypłatą kieszonkowego?

    Na razie to tyle. W następnym poście zastanowimy się dlaczego liczymy w dziesiątkach i w jakich systemach liczono dawniej.

Będę tutaj prezentować ciekawostki, którymi postaram się zachęcić wszystkich do zajęcia się matematyką, gdyż jest ona wszędzie. Otacza nas i możecie ją odnaleźć w każdym zagadnieniu z życia codziennego. Nie chodzi mi tutaj tylko o to, że wszystko czego dotykamy jest bryłą, lub że czas który codziennie przecieka nam przez palce można mierzyć liczbami. Matematyka opisuje wszelkie zjawiska, które wokół nas zachodzą, trzeba tylko umieć się im odpowiednio przyjrzeć. Bez matematyki angielski uczony James Maxwell nie opisałby w roku 1861 natury fal elektromagnetycznych. Tych samych, których wszyscy teraz używamy (w radiu, smartfonach, komputerach i innych wynalazkach), a których istnienie w sposób eksperymentalny udowodnił dopiero w roku 1886 Niemiec Heinrich Hertz. Ale nie przerażajcie się, nie będę Was tu straszyła równaniami Maxwella, my zajmiemy się czymś prostszym, co nie znaczy, że mniej ciekawym. Zapraszam do czytania bloga. Beata Serafin.