Blog matematyczny

Informuję, że organizowana jest VII edycja Dzielnicowego Turnieju Trzykrotnego Układania Łamigłówek Happy Na Czas „3xHappy”.

Konkurs jest przeznaczony dla uczniów, którzy pragną sprawdzić swoje umiejętności logicznego i twórczego myślenia.

Konkurs składa się z dwóch etapów:

I etap – eliminacje wewnątrzszkolne – 14 grudnia 2015 r.

II etap – turniej właściwy – 11 kwietnia 2016 r. godz. 13.30

Turniej odbywa się na sześciu poziomach trudności łamigłówek kategorii Happy Cube (łamigłówki Milano, New York, Tokyo, Amsterdam, Paris i Brussels, z których powstają kostki o krawędziach 4 cm): poziom 1 - niebieski, poziom 2 - zielony, poziom 3 - żółty, poziom 4 - pomarańczowy, poziom 5 - czerwony, poziom 6 - fioletowy.

Każdy uczestnik ma do dyspozycji klocki z zadeklarowanego wcześniej koloru (poziomu) i musi trzy razy złożyć sześcian i trzy razy włożyć go w formę. Wygrywają osoby, które zrobią to najszybciej na danym poziomie trudności.

Osoby zainteresowane powinny zgłosić się do swoich nauczycieli matematyki do dnia 12.12.2015.

Regulamin konkursu oraz szczegółowe informacje dostępne są także na stronie SP 42 w Warszawie >>> http://www.sp42.waw.pl/Strona18.htm
 

Być może ktoś, bawiąc się matematyką, napotkał już liczby, których w postaci dziesiętnej nie da się zapisać za pomocą skończonej ilości cyfr i krzyknie: "To są liczby niewymierne!".

Niestety, nie jest to prawdą, przynajmniej nie zawsze. Otóż są liczby wymierne, i to wcale nie za duże, których dziesiętna reprezentacja (czyli zapis) ciągnie się w nieskończoność - próbowaliście już kiedyś podzielić 1 przez 3? Jeśli nie to spróbujcie!

Otrzymacie: 0.33333333333333333333333333333...

i nieskończoną liczbę trójek, ale czy to powoduje, że nie jest to liczba wymierna?

Oczywiście, że nie! przecież to ułamek 1/3 - jego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi!
To jakie w końcu są te liczby NIEWYMIERNE? Zapewne spotkaliście się już z pojęciem pierwiastka drugiego stopnia (inaczej pierwiastka kwadratowego). Pierwiastkowanie to operacja odwrotna to potęgowania i polega na znalezieniu liczby, która podniesiona do potęgi (w tym wypadku drugiej) da liczbę PODPIERWIASTKOWĄ. Na przykład: pierwiastek kwadratowy z 4 to 2, ponieważ 22=4, a z 9 to 3, bo 32=9.
Ale co by było, gdybyśmy próbowali znaleźć pierwiastek z liczby 2? Nie jest to ani jeden, bo za mało, ani 2, bo za dużo, więc pewnie jest to jakaś liczba niecałkowita spomiędzy 1 i 2. Spróbujcie na kalkulatorze podnosić do kwadratu (do drugiej potęgi) kolejno liczby 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5. Okaże się, że 1.4 to znów za mało, a 1.5 to za dużo! Spróbujmy dalej 1.41, 1.42 - O, to już za dużo, więc 1.411,1.412 itd. Jak długo tak można? W nieskończoność! Jest to więc liczba o nieskończenie długiej reprezentacji dziesiętnej. Ale okazuje się także, że nie uda nam się znaleźć dwóch liczb całkowitych, które jako ułamek mogłyby przedstawiać pierwiastek z dwóch. Jest to więc liczba niewymierna. Hurra! Mamy pierwszą, a kolejne? To proste! Pierwiastki z 3, 5, 6, 7 itd. Liczby niewymierne jako pierwiastki odkryli w starożytnej Grecji matematycy związani z Pitagorasem (czyli Pitagorejczycy), ponieważ natrafili na nie próbując wyznaczyć długości przeciwprostokątnych w trójkątach (ale już to temat na zupełnie inny post!).

Czy tylko pierwiastki? Otóż nie! Jedną z najpopularniejszych liczb niewymiernych jest liczba Pi, oznaczana przez π, a nazywana liczbą Archimedesa lub ludolfiną. Skąd liczba niewymierna u starożytnego matematyka i fizyka? Otóż była ona ludziom potrzebna do wyznaczenia obwodu koła. Liczba π jest bowiem stałą określającą stosunek długości średnicy koła do jego obwodu (mówi więc ile razy obwód koła jest dłuższy od średnicy). Archimedes, oczywiście nie wiedział, że liczba ta jest niewymierną, ale próbował ją obliczyć z pewnym przybliżeniem i uzyskał wartość pomiędzy 3 10/71 a 3 1/7. Dziś znamy już znacznie dokładniejsze przybliżenia tej liczby, ale i tak zwykle wykorzystujemy π=3.141. Podobno jej dokładną wartość zna tylko Chuck Norris, ale nie jest to pewne.
Inną znaną liczbą niewymierną jest liczba Eulera lub Nepera, czyli e równa w przybliżeniu 2,7182818... Jest ona wykorzystywana w wielu działach matematyki i fizyki, miedzy innymi jest podstawą logarytmu naturalnego, ale to już całkiem inna historia.

Na przestrzeni wieków, poznawszy odpowiednio wiele liczb, ludzie zauważyli, że mają one różne właściwości i zaczęli je KLASYFIKOWAĆ, czyli dzielić na poszczególne klasy zwane ZBIORAMI LICZB.
Wyróżniono więc liczby naturalne (oznaczane jako N), czyli takie, które są dodatnie i całkowite. Wynika stąd, że zbiór liczb całkowitych (C) jest większy i obejmuje także całkowite liczby ujemne, o których pisałam wcześniej. To, do którego zbioru należy liczba zero, jest kwestią umowy i my możemy włączyć je do liczb naturalnych.
Jednak dobrze już wiecie, że liczby całkowite nie wyczerpują wszystkich możliwości - liczb jest nieskończenie więcej! Zbiorem znacznie szerszym niż zbiór liczb całkowitych jest zbiór liczb wymienych (oznaczany w matematyce przez Q). Należą do niego liczby, które można przedstawić w postaci następującego ułmka p/q. W ułamku tym zarówno licznik p, jak i mianownik q są liczbami całkowitymi, przy czym, z oczywistych względów mianownik nie może być równy 0.
Jakie to liczby? Otóż niemal wszystkie! Z pewnością dotąd, o ile jesteście uczniami szkoły podstawowej, zajmowaliście się wyłącznie liczbami wymiernymi. Dowód? Bardzo chętnie:

1=1/1=2/2=100/100 itd.,

10=20/2,

0.5=1/2,

0.75=3/4,

-5=-10/2=10/(-2).

W zasadzie, gdybym zapytała Was o jakąś liczbę, która nie mieści się w zbiorze liczb wymiernych, to zapewne większość z Was miałaby poważny problem.
O liczbach niewymiernych napiszę w następnym poście.

Zapraszam wszystkich chętnych do wzięcia udziału w XII edycji warszawskiego konkursu matematycznego „Zmatematyką przez życie”.

Konkurs będzie przeprowadzony w dwóch kategoriach:

Kategoria 1: Konkurs wiedzy:

Składać się będzie z dwóch etapów:

I etap – szkolny – odbędzie się w dn.  14.01.2016 r. (czwartek)

II etap – międzyszkolny – odbędzie się w dn. 10.03.2016 r. (czwartek).

Kategoria 2: Prezentacja multimedialna:

Konkurs indywidualny, niezależny od „Konkursu wiedzy”.

Składać się będzie z dwóch etapów.

I etap – szkolny – przekazanie prac konkursowych nauczycielom matematyki– do dn. 06.02.2016 r.

Komisja Szkolna wybierze trzy prace po jednej  prezentacji na każdym poziomie (jedna z klasy 4, jedna z klasy 5, jedna z klasy 6) , które wezmą udział w II etapie - międzyszkolnym.

Regulamin konkursu dostępny jest pod poniższym linkiem:

http://strona_o_matematyce.republika.pl/regulamin%20konkursu%20ZMP%C5%BB.pdf

Mam dobrą wiadomość dla wszystkich, ktorzy chcą utrwalić swoje wiadomości i poszerzyc swoją wiedzę z matematyki: na stronie http://epodreczniki.pl dostępne są bezpłatne materiały do nauki matematyki i nie tylko, dla różnych poziomów nauczania. Są to głównie interaktywne ćwiczenia oraz ciekawe filmiki, które pomogą w zrozumieniu i utrwaleniu materiału. Serdecznie zachęcam do korzystania.

Zapraszam wszystkich chętnych uczniów klas 4-6 SP 114 do udziału w szkolnym konkursie pt. "Symetria wokół nas". Należy wykonać pracę plastyczną przedstawiającą symetrię w przyrodzie, architekturze, przedmiotach codziennego użytku lub własny, wymyślony symetryczny obraz. Prace mogą zostać wykonane dowolną techniką np. malowanie, rysowanie, wyklejanie papierem kolorowym itp.
Format pracy A4. Konkurs trwa do 20.11.2015 r. włącznie. Prace należy oddawać do nauczycieli matematyki.

Dzisiejszym wpisem chciałabym Was zachęcić do zaprzyjaźnienia się z dwójkowym systemem licznienia. Dlaczego tak się go czepiam? Bo, jak pisałam ostatnio, jest on podstawą działania komputerów - wszystkie urządzenia cyfrowe, od kalkulatorów, przez smartfony i tablety, aż po wielkie superkomputery liczą w tym systemie. A nie jest on wcale trudny.
Zacznijmy od naszego, dziesiątkowego systemu - wykorzystujemy w nim dziesięć cyfr: od 0 do 9. Każda liczba składa się z cyfr ustawionych na odpowiedniej pozycji (stąd nazwa takich systemów liczenia - pozycyjne). Każdej pozycji (zwanej także rzędem) w liczbie przypisana jest waga (znaczenie). I tak, w liczbach całkowitych, waga pierwszej pozycji od prawej strony jest równa 1 (jest to rząd jedności), następna pozycja (druga od prawej) ma wagę 10 (rząd dziesiątek), kolejna (trzecia) ma wagę 100 (rząd setek), a nastepne : 1000, 10000, 100000 i tak dalej. Łatwo zauważyć, że wagi te są kolejnymi potęgami liczby 10:  100, 101, 102, 102...
Jak obliczamy wartość każdej liczby? Po prostu sumujemy iloczyny wszystkich cyfr przez wagi. Jako przyklad weźmy liczbę 2143:
3*100+4*101+1*102+2*103=3+40+100+2000=2143
Proste, prawda?
Analogicznie (czyli bardzo podobnie) robi się to w systemie dwójkowym, który także jest systemem pozycyjnym. Jak sama nazwa wskazuje jego podstawą jest liczba 2, sa tam też dwie cyfry: 0 i 1. Wagi dla kolejnych (od prawej) pozycji (rzędów) wynoszą 20, 21, 22, 23, 24 itd., a więc 1, 2, 4, 8, 16 ... Jak zatem odczytać liczbę 10111 w systemie dwójkowym? Jak już napisałam - analogicznie jak w systemie dziesiątkowym
1*20+1*21+1*22+0*23+1*24=1+2+4+16=23, zatem 10111(2)=23(10), zapis (2) lub (10) stosujemy, żeby zaznaczyć w jakim systemie zapisano daną liczbę.
A jak zamienić liczbe dziesiętną na dwójkową?
Spróbujmy również na przykładzie:
Naszą liczbą do zamiany będzie 26. Żeby znaleźć cyfrę na pierwszej pozycji podzielmy 26 przez 2, otrzymamy 13 reszty 0, zatem cyfra z pierwszej pozycji to 0. Następnie dzielimy 13 przez 2, otrzymujemy 6 reszty 1, więc kolejna cyfra to 1, potem dzielimy 6 przez 2 - otrzymujemy 3 reszty 0, a potem 3 przez 2, otrzymujemy 1 reszty 1, Na koniec dzielimy 1 przez 2 i otrzymujemy 0 reszty 1. Zatem nasza liczba w systemie dwójkowym to 11010(2).
W systemach pozycyjnych ilość wykorzystywanych cyfr jest równa podstawie systemu (w dziesiątkowym 10, a w dwójkowym 2), jednak nigdy nie ma w nich cyfry równej podstawie, co jednak z systemami o podstawie wyższej niż dziesięć, np. szesnastkowym? Należało dla nich wymyślić nowe cyfry i, jak napisałam we wcześniejszej notce, w systemie szesnastkowych używa się dodatkowych cyfr A, B, C, D, E i F oznaczających odpowiednio 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Czy zastanawialiście się kiedyś dlaczego liczymy tak, jak liczymy? Lub, żeby być bardziej precyzyjną, dlaczego używamy dziesiątkowego systemu liczenia? Wszystko, no prawie wszystko, w naszych obliczeniach kręci się wokół dziesiątki: mamy dziesięć cyfr (choć nie ma cyfry dziesięć), zaokrąglamy do dziesięciu, dodając i odejmując musimy przekraczać próg dziesiątkowy, nawet ułamki najwygodniej nam obliczać w postaci dziesiętnej. Okazuje się, że nie zawsze tak było.

   Z pozostałościami innych systemów liczenia, jakimi posługiwali się nasi przodkowie stykamy się na co dzień: czas liczymy w sekundach, minutach i godzinach, niektóre towary liczy się na tuziny (12 sztuk) i kopy (60 sztuk), a w wielu dziedzinach stosuje się rzymski sposób zapisu liczb.

   Jak to się zaczęło? Pierwsze rachunki ludy pierwotne wykonywały używając części ciała (palce, ręce nogi), następnie wykorzystując nacięcia na drewnie, kościach zwierząt, w skale. Były to tak zwane addytywne systemy liczenia, w których symbole oznaczające liczby należało zsumować. Systemy te z oczywistych względów nadawały się jedynie do zapisywania małych liczb, trudno byłoby posługiwać się tysiącami nacięć jako ułatwieniem w liczeniu.

   Około 1800 lat przed naszą erą powstał babiloński system liczenia oparty na liczbie 60. Był to system pozycyjny, to znaczy, że ta sama cyfra mogła oznaczać co innego, w zależności od tego, na której pozycji się znajdowała. System sześćdziesiątkowy miał sześćdziesiąt cyfr, tak jak nasz system dziesiątkowy posiada ich 10.

   Mniej więcej równolegle rozwijała się matematyka w starożytnym Egipcie, jednak egipski system liczenia był systemem addytywnym, stosującym jednak osobne znaki dla dużych liczb. Podobnie ma się rzecz ze znacznie młodszym, a używanym do dziś systemem rzymskim, w którym dodajemy (lub niekiedy odejmujemy) wartości poszczególnych symboli.

   Cyfry, jakich używamy dzisiaj (nazywane arabskimi), a z nimi system dziesiątkowy, powstały w Indiach jeszcze przed rozpoczęciem naszej ery i zostały przyjęte ok VIII wieku przez matematyków arabskich.

   Mylicie się, jeśli myślicie, że system dziesiątkowy jest systemem ostatecznym i po nim nic nowego nie wymyślono.

Otóż na potrzeby maszyn cyfrowych wprowadzono system dwójkowy, posiadający dwie cyfry 1 i 0, dla ułatwienia porozumiewania się z komputerami - system szesnastkowy, który, oprócz cyfr 0-9 posiada jeszcze sześć dodatkowych oznaczanych A, B, C, D, E, F.

   Jak widzicie liczenie dziesiątkami nie jest jedynym sposobem i gdybyśmy sposób zapisu liczb przejęli od Babilończyków, a nie od Hindusów, liczylibyśmy wszystko na kopy i byłoby to dla nas całkowicie naturalne.

Liczby otaczały człowieka od zawsze, tylko on nie zawsze zdawał sobie sprawę z ich istnienia. Z biegiem wieków zauważaliśmy ich coraz więcej. Na początku ważna była ilość członków rodziny, później, gdy w wymianie handlowej pojawiły się pieniądze należało zacząć je liczyć, aby nie zostać oszukanym. Dziś nie potrafimy obyć się bez zegara, daty, numeru PIN do telefonu, czy numeru ulubionego kanału telewizyjnego.

    Liczby odkrywano sukcesywnie. Pierwsze, rzecz jasna pojawiły się liczby naturalne, najpierw jako nacięcia wykonane przez ludzi pierwotnych na kościach, później jako znaki pisma klinowego Babilończyków i hieroglify Egipcjan. Wśród starożytnych matematyków należy także wymienić Chińczyków, Hindusów oraz Greków - z ich przemyśleń korzystamy do dziś.

    Pewien problem sprawiło ludziom zero, gdyż nie wiedziano jak interpretować coś co oznacza nic.

    Ciekawić może fakt, że kiedy odkryto liczby ujemne (pierwsze wzmianki pochodzą z chińskich prac z I wieku p.n.e. oraz z hinduskich z VII wieku n.e.) uznano je za absurdalne i najczęściej opuszczano, argumentując tym, że "ludzie nie uznają liczb ujemnych". Liczby ujemne zaczęły wracać do łask dopiero od XIII w.

    Dziś nie wyobrażamy sobie życia bez liczb mniejszych od zera. Bo jak zapisać temperaturę pięknego zimowego poranka, lub jak przedstawić stan naszych finansów przed wypłatą kieszonkowego?

    Na razie to tyle. W następnym poście zastanowimy się dlaczego liczymy w dziesiątkach i w jakich systemach liczono dawniej.

Będę tutaj prezentować ciekawostki, którymi postaram się zachęcić wszystkich do zajęcia się matematyką, gdyż jest ona wszędzie. Otacza nas i możecie ją odnaleźć w każdym zagadnieniu z życia codziennego. Nie chodzi mi tutaj tylko o to, że wszystko czego dotykamy jest bryłą, lub że czas który codziennie przecieka nam przez palce można mierzyć liczbami. Matematyka opisuje wszelkie zjawiska, które wokół nas zachodzą, trzeba tylko umieć się im odpowiednio przyjrzeć. Bez matematyki angielski uczony James Maxwell nie opisałby w roku 1861 natury fal elektromagnetycznych. Tych samych, których wszyscy teraz używamy (w radiu, smartfonach, komputerach i innych wynalazkach), a których istnienie w sposób eksperymentalny udowodnił dopiero w roku 1886 Niemiec Heinrich Hertz. Ale nie przerażajcie się, nie będę Was tu straszyła równaniami Maxwella, my zajmiemy się czymś prostszym, co nie znaczy, że mniej ciekawym. Zapraszam do czytania bloga. Beata Serafin.